RECTA TANGENTE Y NORMAL.

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Ejemplo:

y = x2 + x + 1

Sea el punto de tangencia (a, b)

m = 1

f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia: (0, 1)

- Recta tangente:

y − 1 = x y = x +1

- Recta normal:

m= 1 P(0, 1)

y − 1 = −x y = −x + 1

PUNTO DE INFLEXIÓN.

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es.

1- Se halla la primera derivada de

2- Se halla la segunda derivada de

3- Se halla la tercera derivada de

4- Se iguala la segunda derivada a 0:

5- Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:

6- Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la función.

7- Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada .

Si , se tiene un punto de inflexión en .

Si , debemos sustituir en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:

Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.

Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

Por ejemplo:

f(x) = x⁴ + 2x no tiene puntos de inflexión porque la derivada segunda es siempre igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad. Sin embargo en x₀ = 0 la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en x₀ = 0 es la derivada cuarta, que es positiva. Observese que f tampoco presenta un extremo en x₀.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA PRIMERA DERIVADA.

Máximos y mínimos.

Los puntos críticos permiten determinar los valores máximos o valores mínimos que alcanza la función. El punto crítico que se encuentra en el intervalo de una concavidad que abre hacia abajo permite determinar el valor máximo que alcanza la función y el que se encuentra en una concavidad que abre hacia arriba, al mínimo que alcanza la función.

Criterio de la primera derivada:

•Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

•Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente.

•Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente.

Criterio de la segunda derivada:

•Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante.

•Hallamos la segunda derivada.

•Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada.

•Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo.

Crecimiento y decrecimiento.

Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:

*Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva

*Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa.

Se procede de la siguiente forma:

• Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante

• Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.

• Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Punto máximo -> creciente-decreciente: En ese valor de x donde f'(x)=0, hay un máximo.

Punto mínimo -> decreciente-creciente: En ese valor de x donde f'(X)=0, hay un mínimo.

Los máximos y mínimos son puntos que necesitan las dos coordenadas (x , y)

Para calcular la coordenada "y" de los máximos y mínimos, sustituimos el valor de x en la función.

Ejemplo:

f(x)= 1/4x^4 - 2x^2
-Obtenemos primera derivada:

f'(x)= x^3-4x
-Igualamos f'(x)= 0 para obtener puntos criticos
x^3 -4x= 0
x(x^2-4)= 0
x= 0 y x = +2/-2

-Nuestros puntos criticos serán 0,-2,+2
-Ahora obtenemos la segunda derivada
f''(x)= 3x^2-4
-Evaluamos los puntos criticos en la segunda derivada
f''(0)= -4 -> por lo tanto hay un máximo en x= 0
f''(-2)= 8 ->por lo tanto hay un mínimo en x= -2
f''(+2)= 8 -> por lo tanto hay un minimo en x= +2
-Los puntos de inflexion se obtienen igualando a cero la segunda derivada f''(x)= 0
3x^2-4=0
-Nuestros puntos de inflexión serán +raiz4/3 y -raiz4/3
concava hacia arriba (-ºº, -raiz4/3)U(+raiz4/3, +ºº)
concava hacia abajo (-raiz4/3, +raiz4/3)

REGLAS DE DERIVACIÓN.

Regla del Producto.

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios. f(x) = f'(a).g(a) + f(a).g'(a)

Ejemplo:

La función f(x)= uv

Su derivada es f'(x)= u'v + uv'

Regla del Cociente.

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios. f(x) = f'(a).g(a) - f(a).g'(a)/g²(a)

Ejemplo:

La función f(x)= u/v

Su derivada es f'(x)= u'v - uv' / v²

Regla de la Cadena.

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a una potencia. fg= (fg² + g)²

Ejemplo:

La función f(x)= uⁿ

Su derivada es f'(x)= n(u)ⁿˉ¹(u')

Reglas básicas.

1- Para una constante "a":

Si f(x)=a, su derivada es f'(x)=0

Ejemplo:

Si f(x)= 4, su derivada es f'(x)= 0

2- Para la función identidad f(x)=x :
Si f(x)=x, su derivada es f'(x)=1
Ejemplo:

Si f(x)=x, su derivada es f'(x)=1


3- Para una constante "a" por una variable "x"
Si f(x)=ax, su derivada es f'(x)=a
Ejemplo:
Si f(x)=14x, su derivada es f'(x)=14


4- Para una variable "x" elevada a una potencia "n"
Si f(x)=xⁿ, su derivada es f'(x)= nxⁿˉ¹
Ejemplo:
Si f(x)= x², su derivada es f'(x)= 2x

5- Para una constante "a" por una variable "x" elevada a una potencia "n"

Si f(x)= axⁿ su derivada es f'(x)= anxⁿˉ¹

Ejemplo:
Si f(x) = 9x², su derivada es f'(x)= 18x

6- Para una suma de funciones:
Si f(x) = u(x) +v(x), su derivada es f '(x) = u'(x) + v'(x)
Ejemplo:
Si f(x)= 7x²+3x, su derivada es f'(x) = 14x+3

AUTORES DE LAS FUNCIONES DE LA DERIVADA.

LAGRANGE

Joseph Louis Lagrange (25 de Enero de 1736 - 10 de Abril de 1813), fue un matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y Francia.

Lagrange elabora la teoría de las variaciones y efectúa interesantes hallazgos en las integrales elípticas y en los métodos de interpolación. Por otra parte, también contribuye al desarrollo de la mecánica y las funciones analíticas.

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).
H) f(x) es continua en [a,b]
f(x) es derivable en (a,b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)

Entonces, el teorema expresa que existe al menos un punto en el intervalo (a,b) donde la tangente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B.

CAUCHY

Augustin Louis Cauchy (21 de Agosto de 1789 - 23 de Mayo de 1857), fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.

Cauchy resolvió el problema de Poinsot, generalización del teorema de Euler sobre los poliedros. Publicaró una memoria sobre el cálculo de las funciones simétricas y el número de valores que una función puede adquirir cuando se permutan de todas las maneras posibles las cantidades que encierra. En 1814, apareció su memoria fundamental sobre las integrales definidas y luego abordando el teorema de Fermat sobre los números poligonales.

H) f(x) y g(x) continuas en [a,b]
f(x) y g(x) derivables en (a,b)
f'²(x) + g'²(x) distinto de 0 para todo x perteneciente a (a,b)
(Las derivadas no se anulan en el mismo punto del intervalo.)
g(a) distinto de g(b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c)

LEIBNIZ

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1 de Julio de 1646 - 14 de Noviembre de 17169), fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.

Descubrió el sistema binario, fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales.
Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearlas explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y perpendicular.

En esta notación se representa la operación de diferenciar mediante el operador , es decir, la operación "derivada de la función f respecto de x" se representaría de este modo como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notación consiste en que permite recordar intuitivamente varios conceptos básicos del cálculo tales como la regla de la cadena, que con esta notación parece obvia debido a la cancelación de diferenciales (a pesar de que este razonamiento es incorrecto) ; o bien el concepto de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales .

La notación de Leibniz también es especialmente útil cuando se trabaja con derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados, ya que indica en cada momento la variable de la función que se considera independiente, dejando el resto de variables como constantes en lo que se refiere a la derivación parcial.

LA DERIVADA.

La derivada representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia.

Surge al asociar una línea recta con una línea curva, líneas que tienen con común dos puntos.

El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones continuas.

Supongamos que tenemos una función y la llamamos f. La derivada de f es otra función que llamaremos f'.

f'(x) representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x.

Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Si f es una función, se escribe la derivada de la función f respecto al valor x en varios modos:

* Notación de Lagrange: -> se lee "efe prima de equis"

* Notación de Cauchy: y -> se lee "d sub x de f", y los símbolos D y d deben entenderse como operadores.

*Notación de Leibniz: , y -> se lee "derivada de y (f ó f de x) con respecto a x".

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f en el punto a, se escribe:

para la primera derivada,

para la segunda derivada,

para la tercera derivada,

para la enésima derivada (n > 3). (También se pueden usar números romanos).